（2012•杭州二模）正项等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N*)使得aman＝4a1，且a7=a6+2a5，则1m+5n的最小值是（）A．74B．1+53C．256D．253

Question

（2012•杭州二模）正项等比数列{a_n}中，存在两项am， an(m， n∈N*)使得√(aman)＝4a1，且a₇=a₆+2a₅，则(1)/(m)+(5)/(n)的最小值是（　　）

A．(7)/(4)
B．1+(√(5))/(3)
C．(25)/(6)
D．(2√(5))/(3)

Answer 1

∵正项等比数列{a_n}中，设公比为q，a₇=a₆+2a₅，
∴(a7)/(a5)=(a6)/(a5)+(2a5)/(a5)，即q²-q-2=0，
解得：q=2或q=-1（舍去），
∴a_m=a₁2^m-1，a_n=a₁2^n-1，
∵√(aman)=4a₁，
∴a_ma_n=a₁²2^m+n-2=16a₁²，即m+n-2=4，
∴m+n=6，即(m+n)/(6)=1，
∴(1)/(m)+(5)/(n)=（(1)/(m)+(5)/(n)）•(m+n)/(6)=(1)/(6)+(5m)/(6n)+(n)/(6m)+(5)/(6)=1+(1)/(6)（(n)/(m)+(5m)/(n)）≥1+(1)/(6)×2√(5)=1+(√(5))/(3)，
当且仅当(n)/(m)=(5m)/(n)时取等号，
则(1)/(m)+(5)/(n)的最小值为1+(√(5))/(3)．
故选B