初等数论的几个问题（1）证明：当n是奇数时,3|2^n+1;当n是偶数时,3不能整除2^n+1（2）求使2^n+1能被5整除的一切正整数n,并证明你的结论（3）设n>0,证明5不整除（1^n+2^n+3^n+4^n)的充分必要条件是4|

Question

初等数论的几个问题
（1）证明：当n是奇数时,3|2^n+1;当n是偶数时,3不能整除2^n+1
（2）求使2^n+1能被5整除的一切正整数n,并证明你的结论
（3）设n>0,证明5不整除（1^n+2^n+3^n+4^n)的充分必要条件是4|n
（4）当a,b都是奇数时,3^a+(b-c)²c是奇数还是偶数
（5）设n≥2,证明101010……1（其中有n个0）是合数
（6）设n≥1,证明7^(2^n)同余1（mod2^(n+2))
(7)今天是星期四,过了789……789(15个789）天后是星期几

Answer 1

（1）n是奇数,2^n=2^（2k+1）=4^k *2
4^k模3余1,2* 4^k模3余2,故3| （2^n+1）
如果n是偶数,（2^n+1）=4^s +1 除3余2
（2）2^n 除5余4即可,也就是4* 2^（n-2） 除5余4即可
也就是
2^（n-2） 除5余1即可
根据费马小定理,得到n-2=4+5k
从而n=5s+1,s>0的整数 即可
（3）必要性显然,充分性5卜（1^n+2^n+3^n+4^n
）
讨论一下n除以4的余数即可,用一用费马小定理求出
1^n,2^n,3^n,4^n除以5的余数就是了
（4）3^a是奇数,(b-c)² *c是偶数,故结果是偶数
楼主你题目太多了,悬赏又那么低,慢慢给你做