已知无穷数列{an}为等差数列，各项均为正数，给出方程aix2+2ai+1x+ai+2=0（i=1，2，3，…）．（1）求证这些方程有一个公共根为-1；（2）设这些方程除公共根以外的另一根为αi，且f（n）=（α1+1

Question

已知无穷数列{a_n}为等差数列，各项均为正数，给出方程a_ix²+2a_i+1x+a_i+2=0（i=1，2，3，…）．
（1）求证这些方程有一个公共根为-1；
（2）设这些方程除公共根以外的另一根为α_i，且f（n）=（α₁+1）（α₂+1）+（α₂+1）（α₃+1）+…+（α_n+1）（α_n+1+1）．求证：f（n）＜(4d)/(a1)．（其中d为数列{a_n}的公差）

Answer 1

（1）证明：因为{a_n}为等差数列，所以a_i+a_i+2=2a_i+1，
将x=-1代入所给方程，得a_i-2a_i+1+a_i+2=0（i=1，2，3，…）．
所以这些方程有一个公共根为-1；
（2）∵αi•(−1)＝(ai+2)/(ai)，∴αi＝−(ai+2)/(ai)，αi+1＝1−(ai+2)/(ai)＝(−2d)/(ai)，
∴(αi+1)(αi+1+1)＝(4d2)/(aiai+1)＝4d((1)/(ai)−(1)/(ai+1))，
∴（α₁+1）（α₂+1）+（α₂+1）（α₃+1）+…+（α_n+1）（α_n+1+1）
=4d[((1)/(a1)−(1)/(a2))+((1)/(a2)−(1)/(a3))+…+((1)/(an)−(1)/(an+1))]＝4d((1)/(a1)−(1)/(an+1))＜4d•(1)/(a1)=(4d)/(a1)，即f(n)＜(4d)/(a1)；