（2014•安徽模拟）若α，β∈R，且α≠kπ+π2（k∈Z），β≠kπ+π2（k∈Z），则“α+β=2π3”是“（3tanα-1）（3tanβ-1）=4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充

Question

（2014•安徽模拟）若α，β∈R，且α≠kπ+(π)/(2)（k∈Z），β≠kπ+(π)/(2)（k∈Z），则“α+β=(2π)/(3)”是“（√(3)tanα-1）（√(3)tanβ-1）=4”的（　　）

A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer 1

(√(3)tanα−1)(√(3)tanβ−1)=3tanαtanβ−√(3)(tanα+tanβ)+1=(3sinαsinβ)/(cosαcosβ)−(√(3)sin(α+β))/(cosαcosβ)+1＝4；
∴(3(sinαsinβ−cosαcosβ))/(cosαcosβ)−(√(3)sin(α+β))/(cosαcosβ)＝0；
∴(−3cos(α+β)−√(3)sin(α+β))/(cosαcosβ)＝0；
∴-3cos（α+β）=√(3)sin（α+β）；
∴tan(α+β)＝−√(3)；
∴α+β=(2π)/(3)+kπ；
∴α+β=(2π)/(3)是（√(3)tanα-1）（√(3)tanβ-1）=4充分不必要条件．
故选A．