z=f（x，y）在点（x，y）的偏导数∂z∂x及∂z∂y存在，是函数f（x，y）在该点可微的（）A．充分条件而非必要条件B．必要条件而非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件

Question

z=f（x，y）在点（x，y）的偏导数(∂z)/(∂x)及(∂z)/(∂y)存在，是函数f（x，y）在该点可微的（　　）

A．充分条件而非必要条件
B．必要条件而非充分条件
C．充分必要条件
D．既非充分又非必要条件

Answer 1

根据可微的定义可得，
如果函数f（x，y）在点（x₀，y₀）可微，
则z=f（x，y）在点（x₀，y₀）的偏导数(∂z)/(∂x)及(∂z)/(∂y)存在，
且△f=A△x+B△y+o（ρ），
即：

lim

(△x，△y)→(0，0)

(△f−A△x−B△y)/(√((△x)2+(△y)2))＝0，
其中A＝(∂f)/(∂x)|(x0，y0)，B＝(∂f)/(∂y)|(x0，y0)．
但是，如果z=f（x，y）在点（x₀，y₀）的偏导数(∂z)/(∂x)及(∂z)/(∂y)存在，
函数f（x，y）在点（x₀，y₀）处不一定可微．
反例，取f(x，y)＝

(xy)/(x2+y2)	(x，y)≠(0，0)
0	(x，y)＝(0，0)

，
则在点（0，0）处，
(∂f)/(∂x)|(0，0)=

lim

x→0

(f(x，0)−f(0，0))/(x−0)=0，
(∂f)/(∂y)|(0，0)=

lim

y→0

(f(0，y)−f(0，0))/(y−0)=0．
因为△f-A△x-B△y=△f=(△x△y)/((△x)2+(△y)2)，

lim

y＝k△x→0

(△x△y)/((△x)2+(△y)2)=(k)/(1+k2)，
故

lim

(△x，△y)→(0，0)

(△f−A△x−B△y)=

lim

(△x，△y)→(0，0)

△f 不存在，
综上，z=f（x，y）在点（x₀，y₀）的偏导数(∂z)/(∂x)及(∂z)/(∂y)存在，是函数f（x，y）在该点可微的必要但不充分条件．
故选：B．