已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点组成的四边行为正方行,经过右焦点的直线L与椭圆C交于A.B两点,且|AB|=8/3.1,求椭圆C的离心率及其标准方程,2,求直线L的方程

Question

已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为(0,2),短轴端点和焦点组成的四边行为正方行,经过右焦点的直线L与椭圆C交于A.B两点,且|AB|=8/3.1,求椭圆C的离心率及其标准方程,2,求直线L的方程

Answer 1

1.据分析,长轴端点为(0,2),则
椭圆焦点在y轴上,设为y^2/a^2+x^2/b^2=1
短轴端点和焦点组成的四边行为正方形,则c=b,故a=√2b=√2c
于是 离心率为e=c/a=√2/2,
a=√2b=2,b=√2,
标准方程 为 y^2/4+x^2/2=1 ①
2.题目中的右焦点不存在,应为上焦点,则,L过点F2(0,√2)
由此可设 L：y=kx+√2,②
则k 应存在,否则 |AB|=2a=4
设A(x1,y1),B(x2,y2),
据①②消去x得 y1=0,则x1=-b=-√2,故
L斜率k=√2/√2=1
由上可得 L方程为 y=x+√2