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若椭圆E1:和椭圆E2:满足,则称这两个椭圆相似,m是相似比.(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程;(Ⅱ)设过原点的一条射线l分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B两点(点A在线段OB上
题目详情
若椭圆E1:和椭圆E2:满足,则称这两个椭圆相似,m是相似比.
(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程;
(Ⅱ)设过原点的一条射线l分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B两点(点A在线段OB上).
①若P是线段AB上的一点,若|OA|,|OP|,|OB|成等比数列,求P点的轨迹方程;
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值.
(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程;
(Ⅱ)设过原点的一条射线l分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B两点(点A在线段OB上).
①若P是线段AB上的一点,若|OA|,|OP|,|OB|成等比数列,求P点的轨迹方程;
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)设出与椭圆相似的椭圆的方程为:,结合题目条件可求得a2=16,b2=8;
(Ⅱ)①对过原点的一条射线l的斜率分存在与不存在进行讨论,不存在时可求得点P的坐标,存在时设出直线l的方程为:y=kx,P(x,y),由A(x1,y1),B(x2,y2)则,从而可得,于是有:
,同理,又点P在l上,则,代入即可求得P点的轨迹方程;
②由①可知,当l的斜率不存在时,|OA|•|OB|=4,当l的斜率存在时,可求得|OA|•|OB|=4+,从而可求得|OA|•|OB|的最大值和最小值.
【解析】
(Ⅰ)设与相似的椭圆的方程.
则有…(3分)
解得a2=16,b2=8.
所求方程是.…(4分)
(Ⅱ) ①当射线l的斜率不存在时,
设点P坐标P(0,y),则y2=4,y=±2.即P(0,±2).…(5分)
当射线l的斜率存在时,设其方程y=kx,P(x,y)
由A(x1,y1),B(x2,y2)则
得
∴同理…(7分)
又点P在l上,则,且由,
即所求方程是.
又∵(0,±2)适合方程,
故所求椭圆的方程是.…(9分)
②由①可知,当l的斜率不存在时,,当l的斜率存在时,,
∴4<|OA|•|OB|≤8,…(11分)
综上,|OA|•|OB|的最大值是8,最小值是4.…(12分)
(Ⅱ)①对过原点的一条射线l的斜率分存在与不存在进行讨论,不存在时可求得点P的坐标,存在时设出直线l的方程为:y=kx,P(x,y),由A(x1,y1),B(x2,y2)则,从而可得,于是有:
,同理,又点P在l上,则,代入即可求得P点的轨迹方程;
②由①可知,当l的斜率不存在时,|OA|•|OB|=4,当l的斜率存在时,可求得|OA|•|OB|=4+,从而可求得|OA|•|OB|的最大值和最小值.
【解析】
(Ⅰ)设与相似的椭圆的方程.
则有…(3分)
解得a2=16,b2=8.
所求方程是.…(4分)
(Ⅱ) ①当射线l的斜率不存在时,
设点P坐标P(0,y),则y2=4,y=±2.即P(0,±2).…(5分)
当射线l的斜率存在时,设其方程y=kx,P(x,y)
由A(x1,y1),B(x2,y2)则
得
∴同理…(7分)
又点P在l上,则,且由,
即所求方程是.
又∵(0,±2)适合方程,
故所求椭圆的方程是.…(9分)
②由①可知,当l的斜率不存在时,,当l的斜率存在时,,
∴4<|OA|•|OB|≤8,…(11分)
综上,|OA|•|OB|的最大值是8,最小值是4.…(12分)
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