若椭圆E1：和椭圆E2：满足，则称这两个椭圆相似，m是相似比．（Ⅰ）求过（且与椭圆相似的椭圆的方程；（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上

Question

若椭圆E₁：和椭圆E₂：满足，则称这两个椭圆相似，m是相似比．
（Ⅰ）求过（且与椭圆相似的椭圆的方程；
（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）．
①若P是线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，求P点的轨迹方程；
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）设出与椭圆相似的椭圆的方程为：，结合题目条件可求得a²=16，b²=8；
（Ⅱ）①对过原点的一条射线l的斜率分存在与不存在进行讨论，不存在时可求得点P的坐标，存在时设出直线l的方程为：y=kx，P（x，y），由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则，从而可得，于是有：
，同理，又点P在l上，则，代入即可求得P点的轨迹方程；
②由①可知，当l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=4，当l的斜率存在时，可求得|OA|•|OB|=4+，从而可求得|OA|•|OB|的最大值和最小值．
【解析】
（Ⅰ）设与相似的椭圆的方程．
则有…（3分）
解得a²=16，b²=8．
所求方程是．…（4分）
（Ⅱ）  ①当射线l的斜率不存在时，
设点P坐标P（0，y），则y²=4，y=±2．即P（0，±2）．…（5分）
当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，P（x，y）
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
得
∴同理…（7分）
又点P在l上，则，且由，
即所求方程是．
又∵（0，±2）适合方程，
故所求椭圆的方程是．…（9分）
②由①可知，当l的斜率不存在时，，当l的斜率存在时，，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，…（11分）
综上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）