函数f（x，y）=xy2x2+y2，x2+y2≠00，(x，y)=(0，0)在（0，0）是否连续？是否可导？是否可微？给出证明．

Question

函数f（x，y）=

(xy2)/(x2+y2)，

 x2+y2≠0

0，

 (x，y)=(0，0)

在（0，0）是否连续？是否可导？是否可微？给出证明．

Answer 1

对∀ε>0，取δ=2ε，当（x，y）属于（0，0）的δ邻域U（δ），即√(x2+y2)时，有
|f(x，y)-f(0，0)|=(|xy2|)/(x2+y2)≤(|y|)/(2)≤(√(x2+y2))/(2)，
于是，f（x，y）在原点处连续；
由f′x(0，0)=

lim

△x→0

(f(0+△x，0))/(△x)=0及f′y(0，0)=

lim

△y→0

(f(0，0+△y))/(△y)=0，
知f（x，y）在原点处的两个偏导数存在；
记△f=f(△x，△y)-f(0，0)=(△x△y2)/(△x2+△y2)，
df=f′_x（0，0）•△x+f′_y（0，0）•△y=0，ρ=√(△x2+△y2)．
当△y=△x时，因

lim

ρ→0

(△f-df)/(ρ)=

lim

ρ→0

(△x△y2)/((△x2+△y2)3/2)=

lim

△x→0

(△x3)/((2△x2)3/2)=(1)/(2√(2))≠0，
知△f=f（△x，△y）-f（0，0）
不能写成f′_x（0，0）•△x+f′_y（0，0）•△y+o（ρ）的形式，
即f（x，y）在原点处不可微．

作业帮用户 2017-02-27 举报