设f(X)在区间（-∞,+∞）上存在二阶导数,f（x）0,根据泰勒公式f(x)=f(0)+f'(0)x+(1/2)f"(&)x^2>f(0)+ax。怎么回事儿呢?不过，如果通过泰勒公式展开f'(x)的话，f‘(x)=f’(0)+f”(&)x为什么只展开到第二项

Question

设f(X)在区间（-∞,+∞）上存在二阶导数,f（x）0,根据泰勒公式f(x)=f(0)+f'(0)x+(1/2)f"(&)x^2>f(0)+ax。怎么回事儿呢?
不过，如果通过泰勒公式展开f'(x)的话，f‘(x)=f’(0)+f”(&)x为什么只展开到第二项，我知道泰勒公式展开项是展开到对整体不影响的项，那么f"'(x)首先我们并不知道他是否存在，其次其正负我们也无法判断，怎么可以作为不影响项而略去呢？

Answer 1

不能
1.由f'(x)>0可知f（x）是增函数
2.由f（x）<0可知f（x）在X轴下方
我们知道,f''（x）为正,f(x)为凹函数；f''（x）为负,f(x)为凸函数.
但满足条件1.与2.的函数可以是凸函数也可以是有的区间为凸又有的区间为凹.
所以不能推出f“（x）的正负