设f''(x)在R上连续,且f(0)=0,g(x)=f(x)/x(x不为0时),g(x)=f'(0)(x=0),证明：g(x)可导且g'(x)连续那如何证g'(x)连续呢？

Question

设f''(x)在R上连续,且f(0)=0,g(x)=f(x)/x(x不为0时),g(x)=f'(0)(x=0),证明：g(x)可导且g'(x)连续
那如何证g'(x)连续呢？

Answer 1

该问题实质是证明 lim(x->0)时 g(x) =g(0) (在0点连续)(其他点显然连续可导f(x)/x)
所以 lim(x->0)g(x)=f(x)/x
=f'(x)/1(0/0型函数求极限定理 上下同时取导数)
=f'(0) (带入0)
因为 g(x)=f'(0) (x=0)
所以 lim(x->0)g(x) =g(0)
所以g(x)在0点连续
g(x)可导
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不敢保证正确哦~
因为f''(x)在R上连续
所以f'(x) f(x)在R上连续
g'(x) = (f'(x*x-f(x))/x^2 连续 "连续函数的代数运算皆连续"