（2014•临沂一模）已知函数f（x）=lnx．（Ⅰ）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与曲线y=x-1x有唯一公共点；（Ⅲ）设0＜a＜b，比较f(b)−f(a)b−a与2a+b

Question

（2014•临沂一模）已知函数f（x）=lnx．
（Ⅰ）若直线y=x+m与函数f（x）的图象相切，求实数m的值；
（Ⅱ）证明曲线y=f（x）与曲线y=x-(1)/(x)有唯一公共点；
（Ⅲ）设0＜a＜b，比较(f(b)−f(a))/(b−a)与(2)/(a+b)的大小，并说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）f′(x)＝(1)/(x)，
设切点为（x₀，y₀），则k＝(1)/(x0)＝1，
∴x₀=1，y₀=lnx₀=0，
代入y=x+m．得m=-1．
（Ⅱ）令h(x)＝f(x)−(x−(1)/(x))=lnx−x+(1)/(x)，
则h′(x)＝(1)/(x)−1−(1)/(x2)＝(−x2+x−1)/(x2)=(−(x−(1)/(2))2−(3)/(4))/(x2)＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递减．
又h（1）=ln1-1+1=0，∴x=1是函数h（x）唯一的零点，
故点（1，0）是两曲线唯一的公共点．
（Ⅲ）(f(b)−f(a))/(b−a)=(lnb−lna)/(b−a)=(ln(b)/(a))/(b−a)，
要比较=(ln(b)/(a))/(b−a)与(2)/(a+b)的大小，
∵b-a＞0，∴只要比较ln(b)/(a)与(2(b−a))/(b+a)的大小．
∵ln(b)/(a)−(2(b−a))/(b+a)=ln(b)/(a)−(2((b)/(a)−1))/((b)/(a)+1)，
构造函数φ（x）=lnx−(2(x−1))/(x+1)，（x＞1）
则φ′（x）=(1)/(x)−(4)/((x+1)2)=

作业帮用户 2016-12-15 举报

问题解析

（Ⅰ）设切点为（x₀，y₀），由k=f′（x₀）=1求解．
（Ⅱ）构造函数h(x)＝f(x)−(x−(1)/(x))=lnx−x+(1)/(x)，对其求导，讨论其单调性，结合着h（1）=0证明该命题．
（Ⅲ）欲比较(f(b)−f(a))/(b−a)=(ln(b)/(a))/(b−a)与(2)/(a+b)的大小，注意到b-a＞0，也就是比较ln(b)/(a)与(2(b−a))/(b+a)的大小，再进行作差变形，ln(b)/(a)−(2(b−a))/(b+a)=ln(b)/(a)−(2((b)/(a)−1))/((b)/(a)+1)，构造函数φ（x）=lnx−(2(x−1))/(x+1)，（x＞1），求导研究其在（1，+∞）上的性质．

名师点评

本题考点：

利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：

本题属于中等偏难的题型，特别是第三问的处理，“转化”思想体现的尤为明显，对于差式ln(b)/(a)−(2(b−a))/(b+a)=ln(b)/(a)−(2((b)/(a)−1))/((b)/(a)+1)，其中的代数变换是构造合适函数的关键，使得问题迎刃而解．

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