已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，f（x）递减，都有f（x）≥0，则a=f（2010），b=f（54），c=-f（12）的大小关系是（）A．b＜c＜aB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．a＜b＜c

Question

已知y=f（x）是偶函数，而y=f（x+1）是奇函数，且对任意0≤x≤1，f（x）递减，都有f（x）≥0，则a=f（2010），b=f（(5)/(4)），c=-f（(1)/(2)）的大小关系是（　　）

A．b＜c＜a
B．c＜b＜a
C．a＜c＜b
D．a＜b＜c

Answer 1

由y=f（x+1）是奇函数，得f（-x+1）=-f（x+1），
则令x取x+1代入上式得，f（-x）=-f（x+2），
∵y=f（x）是偶函数，∴f（x+2）=-f（-x）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的一个周期函数，
则a=f（2010）=f（4×502+2）=f（2）=-f（0），
b=f（(5)/(4)）=f（-(3)/(4)+2）=-f（(3)/(4)），
c=-f（(1)/(2)），
∵0＜(1)/(2)＜(3)/(4)，且对任意0≤x≤1，f（x）递减，
∴f(0)＞f((1)/(2))＞f((3)/(4))，则−f(0)＜−f((1)/(2))＜−f((3)/(4))，
即a＜c＜b，
故选：C．