设在闭区间[a，b]上f（x）＞0，f′（x）＜0，f″（x）＞0．记S1=∫baf(x)dx，S2=f（b）（b-a），S3=12[f（a）+f（b）]（b-a），则（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S3＜S1C．S3＜S1＜S2D．S2＜S1＜S3

Question

设在闭区间[a，b]上f（x）＞0，f′（x）＜0，f″（x）＞0．记S₁=

∫

b a

f(x)dx，S₂=f（b）（b-a），S₃=(1)/(2)[f（a）+f（b）]（b-a），则（　　）

A．S₁＜S₂＜S₃
B．S₂＜S₃＜S₁
C．S₃＜S₁＜S₂
D．S₂＜S₁＜S₃

Answer 1

由已知条件，f（x）在[a，b]递减，且是凹的
∴0＜f（b）＜(1)/(2)[f(b)+f(a)]，
∴S₂＜S₃
又S₁表示的是x=a，x=b，y=f（x）与x轴所围成曲边梯形的面积
S₂表示的是x=a，x=b，y=f（b）与x轴所围成长方形的面积
S₃表示的是x=a，x=b，f（x）在x=a和x=b两个端点连线，这三条直线所围成梯形的面积
∴S₂＜S₁＜S₃
故选：D．