如图在正方形ABCD中,点P在BC上,AP⊥PE,PE交角BCD的外角的平分线于点E,连接AE交DC于点G.求证1AP=PE求证2若

Question

如图在正方形ABCD中,点P在BC上,AP⊥PE,PE交角BCD的外角的平分线于点E,连接AE交DC于点G.求证1AP=PE求证2若

Answer 1

我猜求证2,若P为BC中点时,DG=DC/3,如果不是请补充追问.
证明：1.在AB上截取BQ=BP,连PQ,
因为AB=BC则有AQ=PC(等量减等量差相等)
因为BQ=BP   ∠B=RT∠
∴∠PQB=45°   ∠AQP=180-45=135°
而∠PCE=90+45=135°
∴∠AQP=∠PCE
因为∠APE=RT∠
∴∠QAP=∠CPE(同为∠APB的余角)
∴△QAO≅△CPE
∴AP=PE
【用四点共圆会更简捷.
连AC,过E分别作EH⊥BC于H,EK⊥DC于K,
因为∠ECK=∠ECH=90/2=45°
∴CHEK是正方形
∴∠ACE=45°+45°=90°=∠APE
∴A、P、C、E四点共圆
∴∠AEP=∠ACP=45°
∴△PAE为等腰直角三角形,∴PA=PE】
2.因为AP=PE   ∠PAB=∠EPH
∴RT△PAB≅RT△EPH
∴PH=AB=BC    EH=BP=PC
∴EH=BC/2    BC=CD  CK=EH ∴CK=DC/2
KE=AD/2
AD∥KE(同平行于BC)
∴△ADG∼△EKG
∴DG/GK=AD/KE=1/2
则DG=2DK/3---------------------------(1)
DK=DC/2--------------------------------(2)
(2)代入(1)得：
DG=2×(DC/2)/3=DC/3