在同一直角坐标系中由抛物线y=x^-(5c-3)x-c和三个点G((-1/2)c,(5/2)c),S((1/2)c,(9/2)c),H(2c,0)(其中c大于0）问当c为何值时,该抛物线上存在点p使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合

Question

在同一直角坐标系中由抛物线y=x^-(5c-3)x-c 和三个点G((-1/2)c,(5/2)c),S((1/2)c,(9/2)c),H(2c,0)(其中c大于0）问当c为何值时,该抛物线上存在点p使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形?并求出所有符合条件的p点坐标．

Answer 1

25.(1)(e+c,d),(c+e-a,d).2分
(2)分别过点A,B,C,D作x轴的垂线,垂足分别为A1,B1,C1,D1.分别过A,D作AE⊥BB1于E,DF⊥CC1于点F.
在平行四边形ABCD中,CD=BA,又∵BB1‖CC1,
∴∠EBA+∠ABC+∠BCF=∠ABC+∠BCF+∠FCD=180°.
∴∠EBA=∠FCD.
又∵∠BEA=∠CFD=90°,
∴△BEA≌△CFD.……4分
∴AF=DF=a-c,BE=CF=d-b.
设C(x,y).由e-x=a-c,得x=e+c-a.
由y-f=d-b,得y=f+d-b.C(e+c-a,f+d-b).……5分
(此问解法多种,可参照评分)
(3)m=c+e-a,n=d+f-b.或m+a=c+e,n+b=d+f.……7分
(4)若GS为平行四边形的对角线,由(3)可得P1(-2c,7c).要使P1在抛物线上,
则有7c=4c2-(5c-3)×(-2c)-c,即c2-c=0.
∴c1=0(舍去),c2=1.此时P1(-2,7).……8分
若SH为平行四边形的对角线,由(3)可得P2(3c,2c),同理可得c=1,此时P2(3,2).
若GH为平行四边形的对角线,由(3)可得P3(c,-2c),同理可得c=1,此时P3(1,-2).
综上所述,当c=1时,抛物线上存在点P,使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形.
符合条件的点有P1(-2,7),P2(3,2),P3(1,-2).……10分