已知函数．（I）当-1＜a＜0时，求f（x）的单调区间；（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x，且a+1＜x＜a+2；（III）当时，记函数f（x）的零点为x，若对任意x

Question

已知函数 ．
（I）当-1＜a＜0时，求f（x）的单调区间；
（II）若-1＜a＜2（ln2-1），求证：函数f（x）只有一个零点x ，且a+1＜x ＜a+2；
（III）当 时，记函数f（x）的零点为x ，若对任意x ₁ ，x ₂ ∈[0，x ]且x ₂ -x ₁ =1，都有|f（x ₂ ）-f（x ₁ ）|≥m成立，求实数m的最大值．
（本题可参考数据：ln2=0.7， ， ）

Answer 1

分析：
（I）f（x）的定义域为（a，+∞）．．由此能求出题函数f（x）的单调区间．（II）当-1＜a＜2（ln2-1）＜0时，由（I）知，f（x）的极小值为f（0），极大值为f（a+1）．由此能够证明函数f（x）只有一个零点x，且a+1＜x＜a+2．（III）因为，所以任意x1，x2∈[0，x]且x2-x1=1，由（II）可知x1∈[0，a+1]，x2∈（a+1，x]，且x2≥1．由此能推导出使得|f（x2）-f（x1）|≥m恒成立的m的最大值．

（I）f（x）的定义域为（a，+∞）．．令f'（x）=0?x=0或x=a+1．当-1＜a＜0时，a+1＞0，函数f（x）与f'（x）随x的变化情况如下表：x（a，0）（0，a+1）a+1（a+1，+∞）f（x）-+-f'（x）↘极小值↗极大值↘所以，函数f（x）的单调递增区间是（0，a+1），单调递减区间是（a，0）和（a+1，+∞）．…（4分）（II）证明：当-1＜a＜2（ln2-1）＜0时，由（I）知，f（x）的极小值为f（0），极大值为f（a+1）．因为f（0）=aln（-a）＞0，，且f（x）在（a+1，+∞）上是减函数，所以f（x）至多有一个零点．又因为，所以函数f（x）只有一个零点x，且a+1＜x＜a+2．…（9分）（III）因为，所以任意x1，x2∈[0，x]且x2-x1=1，由（II）可知x1∈[0，a+1]，x2∈（a+1，x]，且x2≥1．因为函数f（x）在[0，a+1]上是增函数，在（a+1，+∞）上是减函数，所以f（x1）≥f（0），f（x2）≤f（1），∴f（x1）-f（x2）≥f（0）-f（1）．当时，．所以f（x1）-f（x2）≥f（0）-f（1）＞0所以|f（x2）-f（x1）|的最小值为．所以使得|f（x2）-f（x1）|≥m恒成立的m的最大值为．…（14分）
点评：
本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查满足条件的实数的最大值的求法，考查推理论证能力，考查等价转化思想，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．