设y=f(x)是R上的奇函数,且当x∈R是,都有f(x+2)=-f(x)若当-1≤x≤1时,f(x)=sinx,试写出当x∈[1,5]时,f(x)的解析式

Question

设y=f(x)是R上的奇函数,且当x∈R是,都有f(x+2)=-f(x) 若当-1≤x≤1时,f(x)=sinx,试写出当x∈[1,5]时,
f(x)的解析式

Answer 1

f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
故f(x)为周期函数,周期为4
记t=x+1,因f(x+2)=-f(x),有f(t+1)=-f(t-1)
又f(x)为奇函数
-f(t-1)=f(1-t)
即f(1+t)=f(1-t)
故x=1是函数y=f(x)图像的对称轴
当x∈[1,5]时,
因为x=1是对称轴,
因此1<=x<=3时,
y=sin（2-x）
因为周期为4,
所以3<=x<=5时,
y=sin（x-4)
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