设函数f(x)=1/2x2ex求f(x)的单调区间还有若当-2≤x≤2时,f(x)>m恒成立,求m取值范围求详解

Question

设函数f(x)=1/2x2ex求f(x)的单调区间
还有若当-2≤x≤2时,f(x)>m恒成立,求m取值范围
求详解

Answer 1

答：
f(x)=x²e^x/2
求导：f'(x)=xe^x+x²e^x/2=xe^x(1+x/2)
令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-2
当x<=-2或者x>=0时,f'(x)>=0,f(x)是增函数；
当-2<=x<=0时,f'(x)<=0,f(x)是减函数.
所以：f(x)的单调增区间为（-∞,-2]∪[0,+∞）；单调减区间为[-2,0].
-2<=x<=2时,f(x)=x²e^x/2>m恒成立,即是求f(x)在区间[-2,2]上的最小值.
由前述可在,f(x)在[-2,0]上是减函数,在[0,2]上是增函数.
所以：当x=0时f(x)取得最小值为f(0)=0>m
所以：m<0