已知函数f（x）=lnx-ax．（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域内的单调性；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为32，求实数a的值；（3）试求实数a的取值范围，使得在区间（1，+∞）上，函数y=x2

Question

已知函数f（x）=lnx-(a)/(x)．
（1）当a＞0时，判断f（x）在定义域内的单调性；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为(3)/(2)，求实数a的值；
（3）试求实数a的取值范围，使得在区间（1，+∞）上，函数y=x²的图象恒在函数f（x）的图象的上方．

Answer 1

（1）f′（x）=(1)/(x)+(a)/(x2)=(x+a)/(x2)（x＞0），
当a＞0时，f（x）＞0恒成立，
故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）由f′（x）=0，得x=-a，
①当a≥-1时，f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，f（x）在[1，e]上为增函数，
f（x）_min=f（1）=-a=(3)/(2)，解得a=-(3)/(2)（舍）；
②当a≤-e时，f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，f（x）在[1，e]上为减函数，
则f（x）_min=f（e）=1-(a)/(e)=(3)/(2)，得a=-(e)/(2)（舍），
③当-e＜a＜-1时，由f（x）=0，得x₀=-a，
当1＜x＜x₀时，f′（x）＜0，f（x）在[1，x₀]上为减函数，
当x₀＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在[x₀，e]上为增函数；
∴f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1+(3)/(2)，得a=-√(e)，
综上，a=-√(e)；
（3）由题意得x²＞lnx-(a)/(x)在（1，+∞）上恒成立，即a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立，
设g（x）=xlnx-x³（x＞1），则g′（x）=lnx-3x²+1，
令h（x）=lnx-x³+1，则h′（x）=(1)/(x)-6x，
当x＞1时，h′（x）＜0恒成立，
∴h（x）=g′（x）=lnx-3x²+1在（1，+∞）上为减函数，
则g′（x）＜g′（1）=-2＜0，
所以，g（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴g（x）＜g（1）=-1，
故a≥-1．