已知函数f（x）=x+mx+2（m为实常数）．（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；（Ⅱ）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在x∈[12，1]有解，求k的

Question

已知函数f（x）=x+(m)/(x)+2（m为实常数）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间[2，+∞）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数m的取值范围；
（Ⅱ）设m＜0，若不等式f（x）≤kx在x∈[(1)/(2)，1]有解，求k的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，任取x₁、x₂∈[2，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x2)−f(x1)＝x2+(m)/(x2)+2−(x1+(m)/(x1)+2)=(x2−x1)•(x1x2−m)/(x1x2)＞0，…（2分）
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以x₁x₂-m＞0，即m＜x₁x₂，…（4分）
由x₂＞x₁≥2，得x₁x₂＞4，所以m≤4．所以，m的取值范围是（-∞，4]．…（6分）
（Ⅱ）由f（x）≤kx，得x+(m)/(x)+2≤kx，
因为x∈[(1)/(2) ， 1]，所以k≥(m)/(x2)+(2)/(x)+1，…（7分）
令t＝(1)/(x)，则t∈[1，2]，所以k≥mt²+2t+1，令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，
于是，要使原不等式在x∈[(1)/(2) ， 1]有解，当且仅当k≥g（t）_min（t∈[1，2]）． …（9分）
因为m＜0，所以g(t)＝m(t+(1)/(m))2+1−(1)/(m)图象开口向下，对称轴为直线t＝−(1)/(m)＞0，
因为t∈[1，2]，故当0＜−(1)/(m)≤(3)/(2)，即m≤−(2)/(3)时，g（t）_min=g（2）=4m+5；
当−(1)/(m)＞(3)/(2)，即−(2)/(3)＜m＜0时，g（t）_min=g（1）=m+3．           …（13分）
综上，当m≤−(2)/(3)时，k∈[4m+5，+∞）；
当−(2)/(3)＜m＜0时，k∈[m+3，+∞）．     …（14分）