已知定义在实数集R上的函数f(x)满足下列条件1）f(0)=0f(1)=12)对任意的实数x,y都有f((x+y)/2)=(1-a)f(x)+af(y),其中a是常数求1）a和f(-1)的值2）求证：对任意的实数x.y都有f(x+y)=f(x)+f(y)3)求f(1/3)的值

Question

已知定义在实数集R上的函数f(x)满足下列条件
1）f(0)=0f(1)=1
2)对任意的实数x,y都有f((x+y)/2)=(1-a)f(x)+af(y),其中a是常数
求1）a和f(-1)的值
2）求证：对任意的实数x.y都有f(x+y)=f(x)+f(y)
3)求f(1/3)的值

Answer 1

1）分别令x、y等于1和-1,解得a=1/2 f(-1)=-12）令x=0 y=y得f(y/2)=f(y)/2,令y=2y,即f(y)=f(2y)/2.应用于x得f(x)=f(2x)/2 再令x=2x y=2y带入得f(x+y)=f(2x)/2+f(2y)/2,即f(x+y)=f(x)+f(y)3) f(1/3)+f(1/3)+f(1/3)=f(2...