椭圆(a>b>0)，、、、分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．(1)设点，若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点、处时，|PM|取得最大值与最小值，求的取值范围；(2)若椭圆C上的点P到焦点距离

Question

椭圆(a>b>0)，、、、分别为椭圆C的长轴与短轴的端点．
(1)设点，若当且仅当椭圆C上的点P在椭圆长轴顶点、处时，|PM|取得最大值与最小值，求的取值范围；
(2)若椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l，且与直线l：y=kx+m相交于A，B两点(A，B不是椭圆的左右顶点)，并满足⊥．试研究：直线l是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．____

Answer 1

【分析】(1)先设出P点坐标，用P，M点坐标表示|PM|的平方，得到PM|的平方可看成是关于x的二次函数，再根据x的取值范围，求出PM|的平方的范围，进而得到x₀的取值范围；
\n(2)先根据椭圆C上的点P到焦点距离的最大值为3，最小值为l求出椭圆方程，再与直线l：y=kx+m联立，得到x₁x₂，x₁+x₂，再根据AA₂⊥BA₂，AA₂与BA₂斜率之积为-1，，求m的值，若能求出，则直线l过定点，若不能求出，则直线l不过定点．

(1)设P(x，y)，且(a>b>0)，
\n则，
\n则对称轴方程为.
\n由题意：只有当或时满足题意，
\n所以或，
\n故x₀的取值范围是．
\n(2)∵，
\n∴由(1)得：a+c=3，a-c=1，则a=2，c=1，
\n∴b²=a²-c²=3，
\n∴椭圆的标准方程为．
\n设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
\n联立，得(3+4k²)x²+8mkx+4(m²-3)=0，
\n则.
\n又y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²=，
\n且椭圆的右顶点为A₂(2，0)，
\n∴，即×=-1，
\n∴y₁y₂+x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=0，
\n∴+++4=0，
\n∴7m²+16mk+4k²=0．
\n解得：m₁=-2k，m₂=-，且均满足3+4k²-m²>0，
\n当m₁=-2k时，l的方程为y=k(x-2)，直线过定点(2，0)，与已知矛盾；
\n当m₂=-时，l的方程为y=k(x-)，直线过定点(，0)．
\n∴直线l过定点，定点坐标为(，0)．

【点评】本题考察了直线与椭圆位置关系，计算量较大，做题时应认真，避免出错．