如图为半径20cm、中心角为144°的扇形图．点D、E、F、G、H、I、J是将扇形的B、C弧线分成了8等份的点．求阴影部分的面积之和．（圆周率为3.14）

Question

如图为半径20cm、中心角为144°的扇形图．点D、E、F、G、H、I、J是将扇形的B、C弧线分成了8等份的点．求阴影部分的面积之和．（圆周率为3.14）

Answer 1

如上图所示，连接圆心A与圆周上各点，由垂径定理可知，AG与图中所有的弦都垂直；
点D、E、F、G、H、I、J是将扇形的B、C弧线分成了8等份的点，
所以图中每个小的圆心角的度数都是：144°÷8=18°．
S_弓形FGH=S_扇形AFGH-S_△AFH=(18×2)/(360)×π×20²-(1)/(2)×20sin18°×2×20cos18°
=40π-400sin18°cos18°
=40π-200sin36°；
所以上面阴影的面积是：S_扇形AEGI-S_弓形FGH-S_△AEI
=(18×4)/(360)×π×20²-（40π-200sin36°）-(1)/(2)×20sin36°×2×20cos36°
=80π-40π+200sin36°-200sin72°
=40π+200sin36°-200sin72°；
S_弓形DGJ=S_扇形ADGJ-S_△ADJ
=(18×6)/(360)×π×20²-(1)/(2)×20sin54°×2×20cos54°
=120π-200sin108°；
所以下面阴影的面积是：S_扇形ABGC-S_弓形DGJ-S_△ABC
=(144)/(360)×π×20²-（120π-200sin108°）-(1)/(2)×20sin72°×2×20cos72°
=160π-120π+200sin108°-200sin144°
=40π+200sin108°-200sin144°；
所以阴影部分的面积之和是：40π+200sin36°-200sin72°+40π+200sin108°-200sin144°
=80π
=80×3.14
=251.2（cm²）；
答：阴影部分的面积之和是251.2cm²．