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已知,M是等边△ABC边BC上的点.(1)如图1,过点M作MN∥AC且交于点N,求证:BM=BN;(2)如图2,连接AM,过点M作∠AMH=60°,MH与∠ACB的邻补角的平分线交与点H,过H作HD⊥BC于点D.求证:MA=MH.
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(1)如图1,过点M作MN∥AC且交于点N,求证:BM=BN;
(2)如图2,连接AM,过点M作∠AMH=60°,MH与∠ACB的邻补角的平分线交与点H,过H作HD⊥BC于点D.求证:MA=MH.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC.
∵MN∥AC,
∴∠BMN=∠C=60°,∠BNM=∠A=60°.
∴∠BMN=∠BNM=∠B=60°,
∴△BNM是等边三角形,
∴BM=BN;
(2)过点M作MN∥AC交AB于N,
∴BM=BN,∠ANM=120°.
∵∠AMH=60°,
∴∠AMB+∠HMC=120°.
∵∠B=60°,
∴∠AMB+∠BAM=120°.
∴∠HMC=∠BAM.
∵∠ACB=60°,
∴∠ACD=120°.
∵CH平分∠ACD,
∴∠ACH=
∠ACD=60°,
∴∠MCH=120°,
∴∠ANM=∠MCH.
∵AB=BC,
∴AB-BN=BC-BM,
∴AN=BC.
在△ANM和△MCH中,
,
∴△ANM≌△MCH(ASA),
∴MA=MH.
∴∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC.
∵MN∥AC,
∴∠BMN=∠C=60°,∠BNM=∠A=60°.

∴∠BMN=∠BNM=∠B=60°,
∴△BNM是等边三角形,
∴BM=BN;
(2)过点M作MN∥AC交AB于N,
∴BM=BN,∠ANM=120°.
∵∠AMH=60°,
∴∠AMB+∠HMC=120°.
∵∠B=60°,
∴∠AMB+∠BAM=120°.
∴∠HMC=∠BAM.
∵∠ACB=60°,
∴∠ACD=120°.
∵CH平分∠ACD,
∴∠ACH=
1 |
2 |
∴∠MCH=120°,
∴∠ANM=∠MCH.
∵AB=BC,
∴AB-BN=BC-BM,
∴AN=BC.
在△ANM和△MCH中,
|
∴△ANM≌△MCH(ASA),
∴MA=MH.
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