如图，椭圆的中心为原点O，离心率e=，一条准线的方程为x=2．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）设动点P满足，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣．问：是否存在两

Question

如图，椭圆的中心为原点O，离心率e= ，一条准线的方程为x=2 ．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设动点P满足 ，其中M，N是椭圆上的点．直线OM与ON的斜率之积为﹣ ．问：是否存在两个定点F ₁ ，F ₂ ，使得|PF ₁ |+|PF ₂ |为定值．若存在，求F ₁ ，F ₂ 的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由e= = ， =2 ，
求得a=2，c=
∴b= =
∴椭圆的方程为：
（Ⅱ）设P（x，y），M（x ₁ ，y ₁ ），N（x ₂ ，y ₂ ），
则由 ，得（x，y）=（x ₁ ，y ₁ ）+2（x ₂ ，y ₂ ），
即x=x ₁ +2x ₂ ，y=y ₁ +2y ₂ ，
∵点M，N在椭圆上，所以 ，
故x ² +2y ² =（x ₁ ² +4x ₂ ² +4x ₁ x ₂ ）+2（y ₁ ² +4y ₂ ² +4y ₁ y ₂ ）=20+4（x ₁ x ₂ +2y ₁ y ₂ ）
设k _0M ，k _ON 分别为直线OM，ON的斜率，
根据题意可知k _0M k _ON =﹣
∴x ₁ x ₂ +2y ₁ y ₂ =0
∴x ² +2y ² =20
所以P在椭圆
设该椭圆的左，右焦点为F ₁ ，F ₂ ，
由椭圆的定义可推断出|PF ₁ |+|PF ₂ |为定值，
因为c= ，则这两个焦点坐标是（﹣ ，0）（ ，0）