曲线C是平面内与两个定点F1（-2，0）和F2（2，0）的斜率之积为12的点的轨迹，P为曲线C上的点．给出下列四个结论：①直线y=k（x+2）与曲线C一定有交点；②曲线C关于原点对称；③|PF1|-|PF2|为

Question

曲线C是平面内与两个定点F₁（-2，0）和F₂（2，0）的斜率之积为(1)/(2)的点的轨迹，P为曲线C上的点．给出下列四个结论：
①直线y=k（x+2）与曲线C一定有交点；
②曲线C关于原点对称；
③|PF₁|-|PF₂|为定值；
④△PF₁F₂的面积最大值为2√(2)．其中正确结论的序号是______．

Answer 1

由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及两点间的斜率公式的得：
∵动点P与定点F₁（-2，0）和F₂（2，0）的斜率之积为(1)/(2)，
∴k_PF1×k_PF2=(1)/(2)
∴(y2)/(x2−4)=(1)/(2)，即(x2)/(4)−(y2)/(2)＝1，
又x=±2时，必有一个斜率不存在，故x≠±2
综上点P的轨迹方程为(x2)/(4)−(y2)/(2)＝1（x≠±2）
对于①，当k=0时，直线y=k（x+2）与曲线C没有交点，所以①错；
对于②，把方程中的x被-x代换，y被-y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称．②正确；
对于③，根据双曲线的定义得|PF₁|-|PF₂|=±2a═±4，其绝对值为定值，但|PF₁|-|PF₂|不虽定值，故③错；
对于④，由题意知点P在双曲线C上，则△F₁PF₂的面积S△PF1F2＝(1)/(2)×2×y，
由于双曲线上点P的纵坐标y没有最大值，所以④不正确．
故答案为：②．