limf'(X)=A（X趋近X0）是f'(x0)=A什么条件?充分?必要还是充要?

Question

limf'(X)=A（X趋近X0）是f'(x0)=A什么条件?充分?必要还是充要?

Answer 1

按你的条件是既不充分也不必要.不充分：如f(x)=x(x≠x0);x+1(x=x0),则lim[x->x0]f'(x)=1但f'(x0)不存在；不必要,如f(x)=x^2sin(1/x),f'(0)=0,lim(x->0)f'(x)=lim(x->0)(2xsin(1/x)-cos(1/x))不存在.
这个命题严格来说要这样表述：若f在[x0-a0,x0+a0]上连续,在(x0-a0,x0)U(x0,x0+a0)上可导（a0可以是任意小的正数）,且lim(x→x0)f'(x)=A；则f在x0可导,且f'(x0)=A.
证明：先证右导数存在且为A.只需证任意ε>0,存在a>0,任意x∈(x0,x0+a),|(f(x)-f(x0)/(x-x0)-A| < ε.
任取ε>0,由于lim(x→x0)f'(x)=A,则对该ε,存在a1>0,任意x∈(x0,x0+a1),|f'(x)-A| < ε.
取a=min{a0,a1},则对任意x∈(x0,x0+a),f(x)在[x0,x0+x]连续,在(x0,x0+x)可导,满足拉格朗日中值定理条件.由中值定理,f(x)-f(x0)/(x-x0)=f'(ξ).由于ξ∈(x0,x0+a1),|(f(x)-f(x0)/(x-x0)-A| = |f'(ξ)-A| < ε.证毕.
同理可证左导数存在且为A.故f'(x0)=A.
这个命题的逆命题不成立,反例还是f(x)=x^2sin(1/x)那个