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若1+2+3+n的和恰好等于一个各位数字都相同的三位数,求n最大值和最小值.
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若1+2+3+n的和恰好等于一个各位数字都相同的三位数,求n最大值和最小值.
▼优质解答
答案和解析
根据题意:前n个自然数的和的个位、十位、百位三个数码都相同,
所以可设前n个自然数的和等于111a,其中a是自然数1~9中的一个;
则有1+2+3+…+(n-1)+n=n(n+1)÷2=111a=3×37×a,
所以n(n+1)=37×6a,1≤a≤9,
经验证,当a=6时,上式转化为n(n+1)=36×37,所以自然数n=36.
n的最大值和最小值只能是36,即n=36.
答:n=36时,前n个自然数的和是一个三位数,并且该三位数的各位、十位、百位三个数码都相同.
所以可设前n个自然数的和等于111a,其中a是自然数1~9中的一个;
则有1+2+3+…+(n-1)+n=n(n+1)÷2=111a=3×37×a,
所以n(n+1)=37×6a,1≤a≤9,
经验证,当a=6时,上式转化为n(n+1)=36×37,所以自然数n=36.
n的最大值和最小值只能是36,即n=36.
答:n=36时,前n个自然数的和是一个三位数,并且该三位数的各位、十位、百位三个数码都相同.
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