（2013•河南模拟）平面内动点P（x，y）与两定点A（-2，0），B（2，0）连接的斜率之积等于-14，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（-65，0），直线l交曲线E于M，N两点．（1）求曲线E的方程，并证明

Question

（2013•河南模拟）平面内动点P（x，y）与两定点A（-2，0），B（2，0）连接的斜率之积等于-(1)/(4)，若点P的轨迹为曲线E，过点Q（-(6)/(5)，0），直线l交曲线E于M，N两点．
（1）求曲线E的方程，并证明：∠MAN是一定值；
（2）若四边形AMBN的面积为S，求S的最大值．

Answer 1

（1）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，
由条件得：
(y)/(x−2)•(y)/(x+2)=-(1)/(4)，化简得(x2)/(4)+y2＝1，(x≠±2)，
∴曲线E的方程为：(x2)/(4)+y2＝1，(x≠±2)．…（4分）
（说明：不写x≠±2的扣1分）
由题可设直线MN的方程为x=ky-(6)/(5)，
联立方程组

x＝ky−(6)/(5)

(x2)/(4)+y2＝1

，化简得：（k²+4）y²-(12)/(5)ky-(64)/(25)=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y1y2＝−(64)/(25(k2+4))，y1+y2＝(12k)/(5(k2+4))，…（6分）
又A（-2，0），则

AM

•

AN

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=（k²+1）y

作业帮用户 2017-10-01