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(2013•河南模拟)平面内动点P(x,y)与两定点A(-2,0),B(2,0)连接的斜率之积等于-14,若点P的轨迹为曲线E,过点Q(-65,0),直线l交曲线E于M,N两点.(1)求曲线E的方程,并证明

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(2013•河南模拟)平面内动点P(x,y)与两定点A(-2,0),B(2,0)连接的斜率之积等于-
1
4
,若点P的轨迹为曲线E,过点Q(-
6
5
,0),直线l交曲线E于M,N两点.
(1)求曲线E的方程,并证明:∠MAN是一定值;
(2)若四边形AMBN的面积为S,求S的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(1)设动点P坐标为(x,y),当x≠±2时,
由条件得:
y
x−2
y
x+2
=-
1
4
,化简得
x2
4
+y2=1,(x≠±2),
∴曲线E的方程为:
x2
4
+y2=1,(x≠±2).…(4分)
(说明:不写x≠±2的扣1分)
由题可设直线MN的方程为x=ky-
6
5

联立方程组
x=ky−
6
5
x2
4
+y2=1
,化简得:(k2+4)y2-
12
5
ky-
64
25
=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=−
64
25(k2+4)
y1+y2=
12k
5(k2+4)
,…(6分)
又A(-2,0),则
AM
AN
=(x1+2,y1)•(x2+2,y2)=(k2+1)y
作业帮用户 2017-10-01