一道数学题：如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．过点A作AP∥BC交抛物线于点P．（1）求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式；（2）求点P的坐标以及四边形ACBP的面积；（

Question

一道数学题：如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C．过点A作AP∥BC交抛物线于点P．
（1）求A、B、C三点的坐标以及直线BC的解析式；
（2）求点P的坐标以及四边形ACBP的面积；
（3）在抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使以A、M、N三点为顶点的三角形与三角形PCA相似．若存在,求出M点的坐标；若不存在,请说明理由．

Answer 1

（1）令y=0,
得x2-1=0
解得x=±1,
令x=0,得y=-1
∴A（-1,0）,B（1,0）,C（0,-1）；（2分）
（2）∵OA=OB=OC=1,
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°．
∵AP∥CB,
∴∠PAB=45°．
过点P作PE⊥x轴于E,则△APE为等腰直角三角形,
令OE=a,则PE=a+1,
∴P（a,a+1）．
∵点P在抛物线y=x2-1上,
∴a+1=a2-1．
解得a1=2,a2=-1（不合题意,舍去）．
∴PE=3（4分）．
∴四边形ACBP的面积S= 12AB•OC+ 12AB•PE
= 12×2×1+ 12×2×3=4；（6分）
（3）假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°,
∴PA⊥AC
∵MG⊥x轴于点G,
∴∠MGA=∠PAC=90°
在Rt△AOC中,OA=OC=1,
∴AC= 2
在Rt△PAE中,AE=PE=3,
∴AP=3 2（7分）
设M点的横坐标为m,则M（m,m2-1）
①点M在y轴左侧时,则m＜-1．
（ⅰ）当△AMG∽△PCA时,有 AGPA=MGCA．
∵AG=-m-1,MG=m2-1．
即 -m-132=m2-12
解得m1=-1（舍去）m2= 23（舍去）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有 AGCA=MGPA,
即 -m-12=m2-132．
解得：m=-1（舍去）m2=-2．
∴M（-2,3）（10分）．
②点M在y轴右侧时,则m＞1
（ⅰ）当△AMG∽△PCA时有 AGPA=MGCA
∵AG=m+1,MG=m2-1
∴ m+132=m2-12
解得m1=-1（舍去）m2= 43．
∴M（ 43,79）．
（ⅱ）当△MAG∽△PCA时有 AGCA=MGPA,
即 m+12=m2-132．
解得：m1=-1（舍去）m2=4,
∴M（4,15）．
∴存在点M,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（-2,3）,（ 43,79）,（4,15）