如图，在平面直角坐标系中，点P从点A开始沿x轴向点O以1cm/s的速度移动，点Q从点O开始沿y轴向点B以2cm/s的速度移动，且OA=6cm，OB=12cm．如果P，Q分别从A，O同时出发．（1）设△POQ的面积等于y，

Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从点A开始沿x轴向点O以1cm/s的速度移动，点Q从点O开始沿y轴向点B以2cm/s的速度移动，且OA=6cm，OB=12cm．如果P，Q分别从A，O同时出发．
（1）设△POQ的面积等于y，运动时间为x，写出y与x之间的函数关系，并求出面积的最大值；
（2）几秒后△POQ与△AOB相似；
（3）几秒后以PQ为直径的圆与直线AB相切．

Answer 1

（1）y=(1)/(2)（6-x）•2x=-x²+6x=-（x-3）²+9，y的最大值=9cm²．
（2）由于∠POQ=∠AOB=90°，如果△POQ与△AOB相似，无非两种情况：
(OP)/(OA)＝(OQ)/(OB)或(OP)/(OB)＝(OQ)/(OA)．
由(2x)/(12)＝(6−x)/(6)，得x=3；
由(2x)/(6)＝(6−x)/(12)，得x=(6)/(5)．
即x=3s或x=(6)/(5)s．
（3）x=(6)/(5)s时以PQ为直径的圆与AB相切．
设以PQ为直径的圆与AB的切点为E；
∵BE²=BQ•BO=12（12-2x）
AE²=AP•AO=6x，又（AE+BE）²=OB²+OA²
∴（√(12(12−2x))+√(6x)）²=12²+6²，
解之，得x=(6)/(5)s．