△ABC是边长为3等边三角形，点E，点F分别在AC、BC边上，连结AF、BE相交于点P，∠APE=60°．（1）求证：△APE∽△ACF．（2）若AE=1，求AP•AF的值．（3）当P点处于线段BE什么位置时，△APE的面积

Question

△ABC是边长为3等边三角形，点E，点F分别在AC、BC边上，连结AF、BE相交于点P，∠APE=60°．

（1）求证：△APE∽△ACF．
（2）若AE=1，求AP•AF的值．
（3）当P点处于线段BE什么位置时，△APE的面积等于四边形CFPE的面积？

Answer 1

（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=60°，
∵∠APE=60°，
∴∠C=∠APE，
∵∠PAE=∠CAF，
∴△APE∽△ACF；

（2）∵△APE∽△ACF，
∴(AE)/(AF)=(AP)/(AC)，
∵AC=3，AE=1，
∴AP•AF=3；

（3）∵∠APE=∠ABP+∠BAP=60°，∠BAP+EAP=60°，
∴∠ABP=∠EAP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=60°，AB=AC，
在△AFC与△BEA中，

∠ABE=∠CAF

AB=AC

∠BAE=∠C

，
∴△AFC≌△BEA，
∴S_△APC=S_△BEA，
∴S_△ABP=S_{四边形CFPE}，
若S_△APE=S_{四边形CFPE}，
则S_△ABP=S_△APE，
∴BP=EP，即P是BE的中点．