设[1+f(x)]ydx+f(x)dy=0是全微分方程,其中f具有连续一阶倒数,且f(0)=0,求f(x)的表达式

Question

设[1+f(x)]ydx+f(x)dy=0是全微分方程,其中f具有连续一阶倒数,且f(0)=0,求f(x)的表达式

Answer 1

设[1+f(x)]ydx+f(x)dy=0是全微分方程,其中f具有连续一阶倒数,且f(0)=0,求f(x)的表达式
P=[1+f(x)]y；∂P/∂y=1+f(x)；Q=f(x),∂Q/∂x=f '(x)；
因为原方程是全微分方程,故1+f(x)=f '(x),即1+f(x)=df(x)/dx,
分离变量得df(x)/[1+f(x)]=dx；
积分之得ln[1+f(x)]=x+lnC,即1+f(x)=e^(x+lnC)=Ce^x；
即f(x)=(Ce^x)-1；代入初始条件得C=1,故得f(x)=e^x-1.