已知函数f（x）=x2-2ax+a+2，（1）若f（x）≤0的解集A⊆[0，3]，求实数a的取值范围；（2）若g（x）=f（x）+|x2-1|在区间（0，3）内有两个零点x1，x2（x1＜x2），求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=x²-2ax+a+2，
（1）若f（x）≤0的解集A⊆[0，3]，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）=f（x）+|x²-1|在区间（0，3）内有两个零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）若A=ϕ，则△=4a²-4（a+2）=4（a-2）（a+1）＜0⇒-1＜a＜2，
若A≠ϕ，则

△≥0

0＜a＜3

f(0)≥0

f(3)≥0

⇒

a≤−1或a≥2

0＜a＜3

a+2≥0

9−6a+a+2≥0

⇒2≤a≤(11)/(5)．
综上可得：−1＜a≤(11)/(5)．
（2）g（x）=x²-2ax+a+2+|x²-1|=

2x2−2ax+a+1，|x|≥1

−2ax+a+3，|x|＜1

．
若a=0，则g（x）=

2x2+1，|x|≥1

3，|x|＜1

，无零点；
若a≠0，则-2ax+a+3在（0，1）单调，
∴其在（0，1）内至多有一个零点．
①若0＜x₁＜1≤x₂＜3，
则

3(−a+3)＜0

(3−a)(19−5a)≤0

，
解得，3＜a≤(19)/(5)，
经检验，a=(19)/(5)时不成立，
②若1≤x₁＜x₂＜3，
由

△＝4a2−8(a+1)＞0

1＜(a)/(2)＜3

3−a≥0

19−5a＞0

，
解得，1+√(3)＜a≤3，
综上所述，实数a的取值范围是（1+√(3)，(19)/(5)）．