1.设abcd是四个整数,且使m=（ab+cd)^2-1/4(a^2+b^2-c^2-d^2)^2是一个非零整数,求证：|m|一定是合数2.设abcd满足a≤b,c≤d,a+b=c+d≠0,且a^3+b^3=c^3+d^3.证明：a=c,b=d.3.设abc是三角形的三条边,求证：a^2-b^2-c

Question

1.设a b c d是四个整数,且使m=（ab+cd)^2-1/4(a^2+b^2-c^2-d^2)^2是一个非零整数,求证：|m|一定是合数
2.设a b c d满足a≤b,c≤d,a+b=c+d≠0,且a^3+b^3=c^3+d^3.证明：a=c,b=d.
3.设a b c是三角形的三条边,求证：a^2-b^2-c^2-2bc＜0

Answer 1

1.M=(ab+cd)^2-1/4(a^2+b^2-c^2-d^2)^2
=(1/4)[4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2]
=(1/4)[(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2]
=(1/4)[(2ab+2cd+a^2+b^2-c^2-d^2)(2ab+2cd-a^2-b^2+c^2+d^2)]
=(1/4)[(a+b)^2-(c-d)^2][(c+d)^2-(a-b)^2]
=(1/4)(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)
因为M是非0整数,所以(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)是4的整数倍
因此|M|是合数
2.a+b=c+d≠0
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
(c+d)^3=c^3+3c^2d+3cd^2+d ^3
又a^3+b^3=c^3+d^3
所以3a^2b+3ab^2=3c^2d+3cd^2
得出,ab=cd
a^3+b^3=c^3+d^3,变形为 (a+b) (a^2-ab+b^2)=(c+d) (c^2-cd+d^2)
a+b=c+d,所以a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2
两边分别加ab、cd.得,(a+b)^2=(c+d)^2,a+b=c+d
再利用a+b=c+d,得出a=c,b=d
3.a b c是三角形的三条边,
所以,a