如图，圆柱O-O1中，AB为下底面圆O的直径，CD为上底面圆O1的直径，AB∥CD，点E、F在圆O上，且AB∥EF，且AB=2，AD=1．（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；（Ⅱ）若DF与底面所成角为π4，求几何体EF-ABC

Question

如图，圆柱O-O₁中，AB为下底面圆O的直径，CD为上底面圆O₁的直径，AB∥CD，点 E、F在圆O上，且AB∥EF，且AB=2，AD=1．

（Ⅰ）求证：平面ADF⊥平面CBF；
（Ⅱ）若DF与底面所成角为(π)/(4)，求几何体EF-ABCD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由已知，AF⊥BF，AD⊥BF，且AF∩AD=A，故BF⊥平面ADF，
所以平面ADF⊥平面CBF．…（5分）
（Ⅱ） 因AD垂直于底面，若DF与底面所成角为(π)/(4)，则∠AFD=(π)/(4)，故AF=1，
则四棱锥F-ABCD的高为(√(3))/(2)，又S_ABCD=2，VF-ABCD=(1)/(3)×(√(3))/(2)×2=(√(3))/(3)；
三棱锥C-BEF的高为1，而△BEF中，BE=BF=1，∠BEF=120°，
所以SBEF=(√(3))/(4)，则VC-BEF=(1)/(3)×1×(√(3))/(4)=(√(3))/(12)，
所以几何体EF-ABCD的体积为(5√(3))/(12)．…（12分）