已知函数f(x)＝alnx+2x+1(a∈R)．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：ln(n+1)＞13+15+17+…+12n+1（n∈N*）．

Question

已知函数f(x)＝alnx+(2)/(x+1)(a∈R)．
（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；
（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln(n+1)＞(1)/(3)+(1)/(5)+(1)/(7)+…+(1)/(2n+1)（n∈N^*）．

Answer 1

（I）f(x)＝lnx+(2)/(x+1)，定义域为（0，+∞）．
∵f′(x)＝(1)/(x)−(2)/((x+1)2)＝(x2+1)/(x(x+1)2)＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数．
当x≥1时，f（x）≥f（1）=1； （3分）
（Ⅱ）∵h′(x)＝(a)/(x)−(2)/((x+1)2)＝(ax2+2(a−1)x+a)/(x(x+1)2)，
∵若f（x）存在单调递减区间，
∴h′（x）＜0有正数解．即ax²+2（a-1）x+a＜0有x＞0的解． （5分）
①当a=0时，明显成立．
②当a＜0时，y=ax²+2（a-1）x+a为开口向下的抛物线，ax²+2（a-1）x+a＜0总有x＞0的解；
③当a＞0时，y=ax²+2（a-1）x+a开口向上的抛物线，
即方程ax²+2（a-1）x+a=0有正根．
因为x₁x₂=1＞0，
所以方程ax²+2（a-1）x+a=0有两正根．

△＞0

x1+x2＞0

，解得0＜a＜(1)/(2)．
综合①②③知：a＜(1)/(2)．  （9分）
（Ⅲ）
（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，lnx+(2)/(x+1)＞1，即lnx＞(x−1)/(x+1)．
令x＝(k+1)/(k)，则有ln(k+1)/(k)＞(1)/(2k+1)，
∴

n

k＝1

ln(k+1)/(k)＞

n

k＝1

(1)/(2k+1)．
∵