1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)＝(n为自然数)．因为：1×2＝1/3×1×2×3,1×2＋2×3＝1/3×2×3×4,1×2＋2×3＋3×4＝1/3×3×4×5,1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝1/3×4×5×6,结论：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝n

Question

1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)＝_______(n为自然数)．
因为：1×2＝1/3×1×2×3,1×2＋2×3＝1/3×2×3×4,1×2＋2×3＋3×4＝1/3×3×4×5,1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝1/3×4×5×6,
结论：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝ n(n＋1)(n＋2)
我觉得这种题的规律很难发现 ,有时发现的规律也不一定是对的,遇到这种题时,应怎样做呢?

Answer 1

这个主要利用两个公式
1+2+3+.+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n(n＋1)
＝(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+2)+...+(n^2+n)
=(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+3+.+n)
=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(n+2)