（2014•崇明县一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝12，an+1＝n+12nan．（1）证明数列{ann}是等比数列；（2）求通项an与前n项和Sn；（3）设bn＝n(2−Sn)，n∈N*，若集合M＝{n|bn≥λ，n∈N*}恰有4

Question

（2014•崇明县一模）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1＝(1)/(2)，an+1＝(n+1)/(2n)an．
（1）证明数列{(an)/(n)}是等比数列；
（2）求通项a_n与前n项和S_n；
（3）设bn＝n(2−Sn)，n∈N*，若集合M＝{n|bn≥λ，n∈N*}恰有4个元素，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）∵a1＝(1)/(2)，an+1＝(n+1)/(2n)an．
∴当n∈N^•时，(an)/(n)≠0．
又(a1)/(1)＝(1)/(2)，(an+1)/(n+1)：(an)/(n)＝(1)/(2)为常数，
∴{(an)/(n)}是以(1)/(2)为首项，(1)/(2)为公比的等比数列．
（2）由{(an)/(n)}是以(1)/(2)为首项，(1)/(2)为公比的等比数列得，
(an)/(n)＝(1)/(2)⋅((1)/(2))n−1＝((1)/(2))n，
∴an＝n⋅((1)/(2))n．由错项相减得Sn＝2−((1)/(2))n−1−n⋅((1)/(2))n．
（3）∵bn＝n(2−Sn)，n∈N*，
∴bn＝n((1)/(2))n−1+n2⋅((1)/(2))n，
由于bn+1−b