向量组的秩 和线性无关组A的秩为r向量组A有一最大无关组 ai1,ai2,...air; 则考虑ai1,ai2,...air ,B ,这个组向量r+1个向量,是相关的,因ai1,ai2,...air 线性无关,知B可用ai1,ai2,...air 线性表示.这个怎么理解

Question

向量组的秩 和线性无关组
A的秩为r
向量组A有一最大无关组 ai1,ai2,...air;
则考虑ai1,ai2,...air ,B ,这个组向量r+1个向量,是相关的,因
ai1,ai2,...air 线性无关,知B可用ai1,ai2,...air 线性表示.
这个怎么理解啊?
我想问的是：
为什么ai1,ai2,...air B ,这个组向量r+1个向量，是相关的？
还有另外一个问题：
向量组A：a1,a2,...ak 秩为r,
则A中任意r个线性无关向量都是A的一个最大线性无关组。
有证明如下：设A中任意r个线性无关的向量为ai1,ai2,...air
对于A中任意向量ai
则ai1,ai2,...air,ai 线性相关，而ai1,ai2,...air 线性无关，故ai可以用ai2,...air,ai 线性表示
所以是A的一个最大线性无关组。
上面论证中，如何把秩这个条件联系起来啊？

Answer 1

因为向量组A的秩为r,且ai1,ai2,...air是A的一个线性无关组,所以ai1,ai2,...air是A的一个最大线性无关组,所以ai1,ai2,...air ,B ,这r+1个向量必线性相关,否则,ai1,ai2,...air ,B ,这r+1个向量就是向量组A的一个线性无关组,因此A的秩大于r,这与已知A的秩为r相矛盾.
在你的证明中,因为ai1,ai2,...air线性无关,且向量组A的秩为r,所以ai1,ai2,...air,ai 这r+1个向量必线性相关（否则,向量组A的秩大于r）,而ai1,ai2,...air 线性无关,故ai可以用ai2,...air,ai 线性表示 因此,ai1,ai2,...air是A的一个最大线性无关组.从而,A中任意r个线性无关向量组都是A的一个最大线性无关组.