设向量β可由向量组α1,α2,...αm-1am线性表示,但不能由向量组（1）α1,α2,...αr-1线性表示,记向设向量β可由向量组α1,α2,...αm-1αm线性表示,但不能由向量组（1）α1,α2,...αm-1线性表示,记向量组

Question

设向量β可由向量组α1,α2,...αm-1 am线性表示,但不能由向量组（1）α1,α2,...α r-1线性表示,记向
设向量β可由向量组α1,α2,...αm-1 αm线性表示,但不能由向量组（1）α1,α2,...αm-1线性表示,记向量组（2）α1,α2,.,αm-1,β 试证：αm不能由向量组（1）线性表示,但可以由向量组（2）线性表示.求老师讲细一点,

Answer 1

因为β可由向量组α1,α2,...αm-1 αm线性表示
所以有 β=k1α1+k2α2+...+km-1αm-1+kmαm. (*)
又因为 β不能由向量组(1) 线性表示
所以 km≠0.
所以 αm = (1/km)[β-(k1α1+k2α2+...+km-1αm-1)]
故 αm可以由向量组(2)线性表示.
假如αm可由向量组(1)线性表示,
由(*)式即知β能由向量组(1)线性表示, 与已知矛盾.
所以αm不能由向量组(1)线性表示,但可以由向量组(2)线性表示.