定义在R+上的函数f(x),对于任意的m,n∈R+,都有f(mn)=f(m)+f(n),x>1时,f(x)

Question

定义在R+上的函数f(x),对于任意的m,n∈R+,都有f(mn)=f(m)+f(n),x>1时,f(x)

Answer 1

1.
当m=1时,f(n)=f(1)+f(n)
所以f(1)=0；
2.
当n=m=x时,f(x^2)=2f(x),
当x＞1时,x^2＞x,f(x^2)＜f(x)＜0,所以当x＞1时,f(x)是减函数.
当0＜x≤1时,0＜x^2＜x≤1,f(x^2)=2f(x),
若f(x)≥0,则f(x^2)≥f(x)≥f(1)=0,f(x)在0＜x≤1上是减函数；
若f(x)＜0,则0=f(1)＜f(x^2)＜f(x),无法确定增减；