如果对任意x1,x2∈R,都有f[(x1+x2)/2]≤1/2[f(x1)+f(x2),则称函数f(x)是R上的凹函定义在R上的函数f(x)满足:如果对任意x1,x2∈R,都有f〔x1+x2）/2〕≤1/2〔f(x1)+f(x2)〕,则称f(x)为R上的凹函数.已知二次函数f

Question

如果对任意x1,x2∈R,都有f[(x1+x2)/2]≤1/2[f(x1)+f(x2),则称函数f(x)是R上的凹函
定义在R上的函数f(x)满足:如果对任意x1,x2∈R,都有f〔x1+x2）/2〕≤1/2〔f(x1)+f(x2)〕, 则称f(x)为R上的凹函数.
已知二次函数f(x)=ax^2+x(a∈R,a≠0).
（1） 当a=1时,试判断函数f(x）是否为凹函数,并说明理由；
（2） 如果x∈[0,1]时 ,|f(x)| ≤1,试求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）证明：对任意x1、x2∈R,∵a＞0,
∴〔f(x1)+f(x2)〕-2f()=ax12+x1+ax22+x2-2〔a()2+）〕
=ax12+ax22-a(x12+x22+2x1x2)=a(x1-x2)2≥0.
∴f()≤〔f(x1)+f(x2)〕.
∴函数f(x)是下凸函数.
由|f(x)|≤1-1≤f(x)≤1-1≤ax2+x≤1.(*)
当x=0时,a∈R;当x∈(0,1)时,(*)式即恒成立,即
恒成立.
∵x∈(0,1],∴≥1.
∴当=1时,-(+)2+取得最大值-2；当=1时,(-)2-取得最小值0.
∴-2≤a≤0,结合a≠0,得-2≤a＜0.
综上,a的范围是〔-2,0).