已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.(2)对x∈(0,+∞),不等式2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围；(3)证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx>1/ex-2/ex成立.

Question

已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.
(2)对x∈(0,+∞),不等式2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围；
(3)证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx>1/ex-2/ex成立.

Answer 1

（1）f'(x)= lnx+1 可得lnx+1=0 x=1/e 此时f（x）最小 f（x）=-1/e
(2) 对x>0 可将不等式 转化为 2lnx+x+ 3/x ≥ a 恒成立,所以要求出 h(x)= 2lnx+ x +3/x的最小值.
求导 h'(x) = 2/x + 1 - 3/x^2 可以知道,当x=1时,h(x)取最小值 为 4 所以 4≥a 即为a的范围.
（3） 这题的题目 lnx>1/ex-2/ex 是不是打错了?