已知函数f（x）=ln（x+1a）-ax，其中a∈R且a≠0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若不等式f（x）＜ax恒成立，求实数a取值范围；（3）若方程f（x）=0存在两个异号实根x1，x2，求证：x1+x2＞0．

Question

已知函数f（x）=ln（x+(1)/(a)）-ax，其中a∈R且a≠0．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若不等式f（x）＜ax恒成立，求实数a取值范围；
（3）若方程f（x）=0存在两个异号实根x₁，x₂，求证：x₁+x₂＞0．

Answer 1

（1）f（x）定义域为（−(1)/(a)，+∞），
其导数f′（x）=−(a2x)/(ax+1)，
①当a＜0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（−(1)/(a)，+∞）上是增函数；
②当a＞0时，在区间（−(1)/(a)，0）上，f′（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f′（x）＜0，
∴f（x）在区间（−(1)/(a)，0）上是增函数，在（0，+∞）是减函数；
（2）当a＜0时，则x取适当的数能使f（x）≥ax，比如取x=e−(1)/(a)，
能使f（e−(1)/(a)）=1-a（e−(1)/(a)）=2-ae＞ae-1=a（e−(1)/(a)），
∴a＜0不合题意，
当a＞0时，令h（x）=ax-f（x），则h（x）=2ax-ln（x+(1)/(a)），
问题化为求h（x）＞0恒成立时a的取值范围．
由于h′（x）=2a-(1)/(x+(1)/(a))=(2a(x+(1)/(2a)))/(x+(1)/(a))，
∴在区间（−(1)/(a)，−(1)/(2a)）上，h′（x）＜0；在区间（−(1)/(2a)，+∞）上，h′（x）＞0，
∴h（x）的最小值为h（−(1)/(2a)），所以只需h（−(1)/(2a)）＞0，
即2a-（−(1)/(2a)）-ln（(−(1)/(2a)+(1)/(a))＞0，∴ln(1)/(2a)＜-1，∴a＞(e)/(2)；
（3）由于f（x）=0存在两个异号实根x₁，x₂，不仿设x₁＜0，−(1)/(a)＜x1＜0，a＞0，
造函数：g（x）=f（-x）-f（x），−(1)/(a)＜x＜0，
∴g(x)＝ln((1)/(a)−x)−ln(x+(1)/(a))+2ax，
∴g′(x)＝(2ax2)/(x2−(1)/(a2))＜0，
∴g（x）在−(1)/(a)＜x＜0，为减函数，又−(1)/(a)＜x1＜0，
∴g（x₁）＞g（0）=0，
∴f（-x）-f（x）＞0，f（x₁）=0，
∵f（-x₁）＞0=f（x₂），
∴x₁+x₂＞0．