已知二次函数y=ax^2+(b+1)x+(b-1),若存在x0∈R,是关于x的方程ax^2+(b+1)x+(b-1)=x成立,则称x0为该二次函数的不动点.若对任意实数b,该二次函数恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围

Question

已知二次函数y=ax^2+(b+1)x+(b-1),若存在x0∈R,是关于x的方程ax^2+(b+1)x+(b-1)=x成立,则称x0为该二次
函数的不动点.若对任意实数b,该二次函数恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围

Answer 1

对任意实数b,该二次函数恒有两个相异的不动点
即方程ax^2+(b+1)x+(b-1)=x恒有2个不等的实数根
也就是对于方程ax^2+bx+(b-1)=0
△=b^2-4a(b-1)＞0对一切实数b成立
整理有4a(b-1)＜b^2
将b分类
i）b-1＞0,a＜b^2/4(b-1)
令b-1=t,则不等式右侧化为(t+1/t+2)/4
因为t＞0,由均值不等式（基本不等式2）可知
t+1/t+2≥2+2=4,所以b^2/4(b-1)≥1
又a＜b^2/4(b-1)对一切b-1＞0成立,所以a要小于b^2/4(b-1)最小值1
∴b-1＞0,a＜1
ii）b-1=0,b=1
得到恒等式0＜1
∴b-1=0,a取一切实数
iii）b-1＜0,a＞b^2/4(b-1)
当b-1＜0时,b^2/4(b-1)≤-1（原因略,参考均值不等式/双钩函数）
又a＞b^2/4(b-1)对一切b-1＜0成立,所以a要大于b^2/4(b-1)最大值-1
∴b-1＜0,a＞1
综上,将三种情况合并,可知对任意实数b,该二次函数恒有两个相异的不动点,a的取值范围是(-1,1)