如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC:y=x交于点C.（1）若直线AB解析式为y=-2x+12,①求点C的坐标；②求△OAC的面积．（2）如图,作∠AOC的平分线ON,若AB⊥ON,垂足为E,

Question

如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线OC:y=x交于点C.
（1）若直线AB解析式为y=-2x+12,
①求点C的坐标；
②求△OAC的面积．
（2）如图,作∠AOC的平分线ON,若AB⊥ON,垂足为E,△OAC的面积为6,且OA=4,P、Q分别为线段OA、OE上的动点,连接AQ与PQ,试探索AQ+PQ是否存在最小值?若存在,求出这个最小值；若不存在,说明理由．

Answer 1

（1）①由题意,y=-2x+12,y=x
\x09解得x=4,y=4所以C（4,4）
\x09②令y=0,-2x+12=0,解得x=6,∴A(6,0)
∴OA=6
∴S△OAC=1/2×6×4=12
\x09
（2）由题意,在OC上截取OM＝OP,连结MQ,
\x09∵OP平分,∴∠AOQ=∠COQ
\x09又OQ＝OQ,∴△POQ≌△MOQ（SAS）,
\x09∴PQ＝MQ,∴AQ＋PQ＝AQ＋MQ,
\x09当A、Q、M在同一直线上,且AM⊥OC时,AQ＋MQ最小.
\x09即AQ＋PQ存在最小值.
\x09∵AB⊥ON,所以,∠AEO=∠CEO
\x09∴△AEO≌△CEO（ASA）,∴OC＝OA＝4,
\x09∵△OAC的面积为6,所以,AM=2×6÷4=3
\x09∴AQ＋PQ存在最小值,最小值为3.