如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．（1）求证：AB=AC；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的直径为13，BC=10，求DE的长．

Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；  
（2）求证：DE为⊙O的切线；  
（3）若⊙O的直径为13，BC=10，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵BD=DC，
∴AB=AC；

（2）证明：连接OD，
∵AO=BO，BD=DC，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE为⊙O的切线；

（3）过D作DF⊥AB于F，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠CAB，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，BD=(1)/(2)BC=(1)/(2)×10=5，AB=13，由勾股定理得：AD=12，
由三角形面积公式得：(1)/(2)AB×DF=(1)/(2)AD×BD，
∴12×5=13×DF，
∴DF=(60)/(13)，
即DE=DF=(60)/(13)．