早教吧作业答案频道 -->数学-->
设D⊂R2是有界闭集,f(x,y)是D上的连续函数,证明:f(x,y)在D上有界,且一定取到最大值和最小值.
题目详情
设D⊂R2是有界闭集,f(x,y)是D上的连续函数,证明:f(x,y)在D上有界,且一定取到最大值和最小值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明f(x)在D上有界.
利用反证法证明.
假设f(x)在有界闭区域D上无界,即∀n∈N,∃Pn∈D,使得|f(Pn)|>n.
按此方法得到点列{Pn},当n→∞时,f(Pn)→∞.
根据致密性定理:点列{Pn}为有界点列,则必然存在收敛子列,记为{Pnk},且
Pnk=P0.
由于D是有界闭区域,则P0∈D.
由于
f(Pn)=∞,且
nk=∞,
所以
f(Pnk)=∞. ①
另一方面,由于f(x)在点P0连续,则得
f(Pnk)=f(P0),
这与①矛盾,
于是f(x)在D上有界.
(2)证明f(x)在D上的最大值与最小值可以取到.只给出取到最大值的证明.由(1)可得,函数f(x)在D上有界,设M=sup{f(x)|x∈D},
只要证明∃P∈D,使得f(P)=M即可.
用反证法:假设∀P∈D,均有f(P) 显然M-f(P)在D上连续,且M-f(P)>0,
于是,函数
在D上连续.
根据(1)可得,
在D上有界,从而存在常数C>0,使得0<
从而 f(P)<M-
,
即M不是数集的上确界,矛盾.
故∃P∈D,使得f(P)=M.
利用反证法证明.
假设f(x)在有界闭区域D上无界,即∀n∈N,∃Pn∈D,使得|f(Pn)|>n.
按此方法得到点列{Pn},当n→∞时,f(Pn)→∞.
根据致密性定理:点列{Pn}为有界点列,则必然存在收敛子列,记为{Pnk},且
lim |
k→∞ |
由于D是有界闭区域,则P0∈D.
由于
lim |
n→∞ |
lim |
k→∞ |
所以
lim |
k→∞ |
另一方面,由于f(x)在点P0连续,则得
lim |
k→∞ |
这与①矛盾,
于是f(x)在D上有界.
(2)证明f(x)在D上的最大值与最小值可以取到.只给出取到最大值的证明.由(1)可得,函数f(x)在D上有界,设M=sup{f(x)|x∈D},
只要证明∃P∈D,使得f(P)=M即可.
用反证法:假设∀P∈D,均有f(P)
于是,函数
1 |
M-f(P) |
根据(1)可得,
1 |
M-f(P) |
1 |
M-f(P) |
1 |
C |
即M不是数集的上确界,矛盾.
故∃P∈D,使得f(P)=M.
看了设D⊂R2是有界闭集,f(x,...的网友还看了以下:
当X→π时,函数sin^3(x-π)是(x-π)^3的()无穷小 A同界 B 高阶 C等界 D低界 2020-05-13 …
①若a\b=b\c=c\d=d\a,求a-b+c-d\a+b-c+d.②已知x,y,z互不相等,且 2020-06-05 …
请问怎么判断函数在某区间有无界定义如下:如果对于变量x所考虑的范围(用D表示)内,存在一个正数M, 2020-07-14 …
a.若Xo为f(x)的极点,则必有f'(Xo)=0b.若f'(Xo)=0,则Xo必为f(x)的极值 2020-07-31 …
函数f(x)=x/(1+x^2),在定义域内为?A.有上界,无下界.B、有下界,上界.C,有界,且 2020-07-31 …
设f(x)的定义域是0,1,则f(x+a)(a>0)的定义域是1.函数y=x-cosx在定义域内是 2020-07-31 …
赋值语句“x=x+1”的正确解释为()A.x的值与x+1的值可能相等B.将原来x的值加上1后,得到的 2020-11-01 …
在x轴上找一点E,y轴上找一点D,使AD+DE+BE的值为最小,求最小值在x轴上找一点C,使ABC周 2020-11-08 …
高一幂函数——闭函数对函数f(x)(x∈D)同时满足条件:1)f(x)在D上单调;2)存在区间[a, 2020-12-08 …
赋值语句“x=x+1”的正确解释为()A.x的值与x+1的值可能相等B.将原来x的值加上1后,得到的 2020-12-31 …