设D⊂R2是有界闭集，f（x，y）是D上的连续函数，证明：f（x，y）在D上有界，且一定取到最大值和最小值．

Question

设D⊂R²是有界闭集，f（x，y）是D上的连续函数，证明：f（x，y）在D上有界，且一定取到最大值和最小值．

Answer 1

（1）证明f（x）在D上有界．
利用反证法证明．
假设f（x）在有界闭区域D上无界，即∀n∈N，∃P_n∈D，使得|f（P_n）|>n．
按此方法得到点列{P_n}，当n→∞时，f（P_n）→∞．
根据致密性定理：点列{P_n}为有界点列，则必然存在收敛子列，记为{Pnk}，且

lim

k→∞

Pnk=P0．
由于D是有界闭区域，则P₀∈D．
由于

lim

n→∞

f(Pn)=∞，且

lim

k→∞

nk=∞，
所以

lim

k→∞

f(Pnk)=∞． ①
另一方面，由于f（x）在点P₀连续，则得

lim

k→∞

f(Pnk)=f（P₀），
这与①矛盾，
于是f（x）在D上有界．
（2）证明f（x）在D上的最大值与最小值可以取到．只给出取到最大值的证明．由（1）可得，函数f（x）在D上有界，设M=sup{f（x）|x∈D}，
只要证明∃P∈D，使得f（P）=M即可．
用反证法：假设∀P∈D，均有f（P）显然M-f（P）在D上连续，且M-f（P）>0，
于是，函数(1)/(M-f(P))在D上连续．
根据（1）可得，(1)/(M-f(P))在D上有界，从而存在常数C>0，使得0<(1)/(M-f(P))从而 f（P）<M-(1)/(C)，
即M不是数集的上确界，矛盾．
故∃P∈D，使得f（P）=M．