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已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,�已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x
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已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,�
已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,若f(-1)=2.
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)判断f(x)在R上的单调性(说明理由);并求函数f(x)在区间[-2,4]上的值域.
(3)若对任意t∈[1,3],不等式f(t2-2kt)+f(2t2-1)<0恒成立,求实数k的取值范围.
已知函数f(x)的定义域为R,对于任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,若f(-1)=2.
(1)求证:f(x)为奇函数;
(2)判断f(x)在R上的单调性(说明理由);并求函数f(x)在区间[-2,4]上的值域.
(3)若对任意t∈[1,3],不等式f(t2-2kt)+f(2t2-1)<0恒成立,求实数k的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵对任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),
,f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.
令y=-x得,f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(2)f(x)在R上单调递减.
证明:设x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-[f(x2-x1)+f(x1)]=-f[(x2-x1),
因为当x>0时,f(x)<0,且x2-x1>0,所以f[(x2-x1)<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)为R上的减函数.
由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(-1)=2得,f(-2)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=4,
f(4)=f(2)+f(2)=2f(2),因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=4,f(2)=-4,所以f(4)=-8.
又函数f(x)在区间[-2,4]上单调递减,所以f(4)≤f(x)≤f(-2),即-8≤f(x)≤4.
故函数f(x)在区间[-2,4]上的值域为[-8,4].
(3)因为函数f(x)在R上是奇函数,且单调递减,
所以不等式f(t2-2kt)+f(2t2-1)<0?f(t2-2kt)<-f(2t2-1)=f(1-2t2)?t2-2kt>1-2t2,
所以对任意t∈[1,3],不等式f(t2-2kt)+f(2t2-1)<0恒成立,
等价于t2-2kt>1-2t2恒成立,即t∈[1,3]时2k<3t-
恒成立,
而易知3t-
在∈[1,3]上单调递增,所以(3t?
)min=3-1=2,
所以有2k<2,解得k<1.
所以实数k的取值范围为(-∞,1).
,f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),
∴f(0)=0.
令y=-x得,f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,
即f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(2)f(x)在R上单调递减.
证明:设x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[(x2-x1)+x1]=f(x1)-[f(x2-x1)+f(x1)]=-f[(x2-x1),
因为当x>0时,f(x)<0,且x2-x1>0,所以f[(x2-x1)<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)为R上的减函数.
由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(-1)=2得,f(-2)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=4,
f(4)=f(2)+f(2)=2f(2),因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=4,f(2)=-4,所以f(4)=-8.
又函数f(x)在区间[-2,4]上单调递减,所以f(4)≤f(x)≤f(-2),即-8≤f(x)≤4.
故函数f(x)在区间[-2,4]上的值域为[-8,4].
(3)因为函数f(x)在R上是奇函数,且单调递减,
所以不等式f(t2-2kt)+f(2t2-1)<0?f(t2-2kt)<-f(2t2-1)=f(1-2t2)?t2-2kt>1-2t2,
所以对任意t∈[1,3],不等式f(t2-2kt)+f(2t2-1)<0恒成立,
等价于t2-2kt>1-2t2恒成立,即t∈[1,3]时2k<3t-
1 |
t |
而易知3t-
1 |
t |
1 |
t |
所以有2k<2,解得k<1.
所以实数k的取值范围为(-∞,1).
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